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“除数是整数的小数除法”教学全套方法-科培数学

“除数是整数的小数除法”是小数除法中最为基础的内容,也是小数除法内容的重要组成部分。

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“除数是整数的小数除法”是小数除法中最为基础的内容,也是小数除法内容的重要组成部分。只有真正掌握除数是整数的小数除法,学生才能合乎逻辑地探索并理解除数是小数的除法,因为一个数除以小数的基本计算方法就是将它转化成除数是整数的小数除法进行计算。


苏教版教材在五年级上册第五单元中通过例4教学上述内容。这道例题在相同的现实背景中连续安排三个相似的实际问题,引导学生依次探索并掌握“除到被除数的末尾能够除尽”、“在被除数末尾添0后继续除”,以及“商的整数部分不够商1要商0”这三种除法式题的计算方法。考虑到学生已有的知识基础和认知能力,实际教学时我们将上述内容分成两个课时进行教学。其中,第一课时重点引导学生探索并理解小数除以整数的基本计算方法,同时兼顾“商的整数部分不够商1要商0”的式题计算;第二课时重点引导学生探索并理解“在被除数末尾添0后继续除”的式题计算方法,包括小数除以整数和整数除以整数这两种具体情况。下面以第一课时的内容为例,对课堂教学实况做一些简单的介绍和说明。


【片断1】基于小数含义,探索并理解基本方法


用表格呈现如下的数量信息:

品  种

数量/千克

总价/元

茄  子

3

9.6

黄  瓜

4

7.2

师:根据表中的数据,请同学们先想一想,茄子和白菜,哪种蔬菜的单价要贵一些?


生1:我觉得茄子的单价要贵一些。因为把9.6元看成9元,每千克茄子的单价是3元,而实际上它的单价要比3元多一些;把7.2元看成8元,每千克白菜的单价是2元,而实际上它的单价要比2元少一些。所以茄子贵,白菜便宜。


生2:我觉得不用这么麻烦,因为购买的白菜数量比茄子多,但总价却比茄子少一些,所以白菜的单价便宜,茄子的单价贵。


师:你们的想法都有道理,第一个同学其实是在估算,第二个同学其实是在推理。继续想一想,可以怎样计算每种蔬菜的单价?先试着算一算,再把你的想法和同学们交流。


学生各自解决问题后组织交流。


生1:茄子的单价是每千克3.2元,白菜的单价是每千克1.8元。


师:能具体说说你是怎样想、怎样算的吗?


生1:购买茄子的总价是9.6元,9.6元就是9元6角,也就是96角,96÷3=32(角),32角就是3.2元;购买黄瓜的总价是7.2元,7.2元就是7元2角,也就是72角,72÷4=18(角),18角就是1.8元。


生2:也可以把9元6角拆成9元和6角,先把9元平均分成3份,每份是3元;再把6角平均分成3份,每份是2角;最后把3元和2角合起来,是3.2元。


生3:7元2角也可以拆开来计算,先把4元平均分成4份,每份是1元;再把32角平均分成4份,每份是8角;最后把1元和8角合起来,是1.8元。


师:同学们都是先把题中的小数看作整数,再用以前学过的整数除法进行计算的。可不可以直接列出小数除法的算式进行计算呢?


生:我觉得是可以的,列出的两道算式分别是9.6÷3和7.2÷4。


师:这两题的计算结果各是多少?


生:应该和前面算出的结果是一样的,也就是说,9.6÷3=3.2(元),7.2÷4=1.8(元)。


师:我有一个感觉,这两道算式尽管属于小数除法,但他们的计算方法似乎和96÷3、72÷4有着某种神秘的联系。对此,你们有什么想法?请大家围绕这个问题在小组里面讨论一下。


学生分组讨论后组织交流。


生:我们小组觉得计算9.6÷3时,可以先当成96÷3来计算,再在商的中间点上小数点;同样的道理,7.2÷4也可以当成72÷4来计算,也在商的中间点上小数点。


师:可以凭什么要在商的中间点上小数点,而不是在商的前面或后面点上小数点呢?


生:我们联系小数的意义想了又想,觉得上的中间点上小数点是有道理的。你看,9.6是96个十分之一,96÷3得到的是32个一,所以9.6÷3得到的就是32个十分之一,也就是3.2。同样的道理,7.2÷4得到的商是18个十分之一,也就是1.8。


师:我好像明白了,你们的意思是,先把上面这样的小数除法看作整数除法来计算,再根据题中小数的含义确定商的小数点的位置。是这样吗?


生:(齐)是的!


师:既然如此,我们能不能将下面这样的整数除法竖式改造成相应的小数除法竖式呢? 


生:只要把竖式中的96改成9.6,32改成3.2;72改成7.2,18改成1.8就可以了。


根据学生的回答呈现如下的竖式。 


师:谁再来解释一下,左边的竖式中,么一步算的各是哪两个数相除,除得的商分别是多少?右边的竖式呢?


生1:左边的竖式第一步算的是9除以3,得到的商是3;第二步算的是6除以3,得到的商是2。


生2:不对,第二步算的其实是6个十分之一除以3,不然的话,得到的商凭什么要写在十分位上呢?


……


师:请大家用竖式计算并比较下面的三组题,结合比较过程再想想小数除以整数的计算方法。


36÷3     91÷7    252÷12


3.6÷3    9.1÷7   25.2÷12


学生独立完成上述计算后,指名说说计算结果,并适当要求解释计算过程。


……


【思考】上面的教学侧重引导学生基于已有的知识经验探索并理解小数除以整数的基本计算原理和计算方法。在出示相关数量信息之后,首先要求学生联系生活经验判断哪种蔬菜的单价贵一些。这个环节一方面有助于学生更加准确地理解题中用小数表示的数量信息,以及相应的数量关系;另一方面,也有助于培养他们的估算意识和能力,并为后面确认口算和笔算结果的合理性提供支持。接下来,侧重引导学生利用对小数意义的已有认识以及整数除法的计算经验,用不同方法分别求出两种蔬菜的单价各是多少元/千克。这个环节的作用,一是为了解决相关的实际问题,二是为学生进一步形成小数除以整数的基本思路做铺垫。因为,不管学生是把题中的9.6元和7.2元看成9元6角个7元2角,还是看成96角和72角,其本质都是将除数是整数的小数除法转化成整数除法进行计算。这样的探索经历对形成小数除以整数的一般计算思路显然有着积极的影响。最后,教师通过不失时机的暗示和启发,引导学生在整数除法与相应小数除法之间建立起适当的联系,帮助他么内在讨论和比较中理解计算原理、掌握计算方法。其中,将整数除法的竖式改造成相应小数除法竖式的教学安排,不仅十分自然地引出了小数除以整数的竖式计算方法,而且凸显了竖式中每一步运算的数学意义,有助于学生形成良好的认知结构。


【片断2】联系商比1小的除法式题,丰富对基本方法的理解


出示如下的数量信息:

品  种

数量/千克

总价/元

红  薯

6

4.8

土  豆

6

5.4

师:根据表中的信息想一想,红薯和土豆的单价与前面的茄子和黄瓜比,有什么特别之处?


生1:我觉得没有什么不一样,它们的单价都可以用小数来表示。


生2:我不同意,因为茄子和黄瓜的单价都超过每千克1元,而红薯和土豆的单价都低于每千克1元。


师:是吗?你是怎样看出来的?


生:你看,如果每千克的单价是1元,6千克红薯就要6元,6千克土豆也要6元;而实际上它们的总价都少于6元。所以,它们的单价一定少于1元。


师:请同学们用竖式分别算出红薯和土豆的单价,看看这位同学的判断是否正确,好不好?


学生各自用竖式进行计算后,组织展示和交流。


生:红薯的单价是每千克0.8元,土豆的单价是每千克0.9元。


呈现学生的竖式计算过程。 


师:老师注意到,这两题的商的整数部分都是0,商的整数部分为什么要写0?如果这个0不写,行不行?


生:我是先用被除数的整数部分除以6,发现不够商1,所以写0占位。


师:可是,计算48÷6和54÷6时,被除数的十位上并不需要写0占位呀?


生:整数最高位的0可以不写,但是小数的整数部分一定要写0占位。不然的话,得到的商就会和整数混淆了。


师:确实如此,在计算除数是整数的小数除法时,如果商的整数部分不够商1,要注意写0占位。这一点和整数除法是不一样的。


师:接下来,请同学们根据对小数除法的已有认识,先判断下面各题的商哪些大于1,哪些小于1,再用竖式进行计算。


0.75÷5   5.04÷6    76.5÷45


……


师:比较上面计算的除数是整数的小数除法式题,它们商的小数点的位置有什么共同特点?能用一句话加以概括吗?


生:我知道,这些题目的商的小数点的位置都要和被除数的小数点对齐。


师:大家仔细看一看,是这样吗?


生:是的。


师:再想一想,商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐呢?


学生讨论后总结。


师:因为用被除数的整数部分除以除数,得到的商一定是多少个一;十分位上的数除以除数,得到的一定是多少个十分之一;百分位上的数除以除数,得到的一定是多少个百分之一……所以商的小数点一定会和被除数的小数点对齐。


……


【思考】上面的教学侧重引导学生基于对除数是整数的小数除法的已有认识,自主探索并掌握“商的整数部分不够商1要商0”的式题的计算方法,并在此基础上对具体的计算方法加以适当的总结归纳。教学时,首先引导学生根据提供的数量信息,说说“红薯和土豆的单价与前面的茄子和黄瓜比,有什么特别之处”,启发他们通过估算和推理初步认识到:因为被除数比除数小,所以除得的商就会比1小。这样,就能为接下来得到正确的笔算结果打好基础。学生得到相关式题的计算结果之后,又通过适当的追问,使他们体会在商的整数部分写0占位,不仅合理而且必要。最后,引导学生观察、比较相关的除法竖式,帮助他们进一步明确确定商的小数点位置的方法,从而为形成必要的计算能力提供实实在在的支持。


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END


来源:邦栋教育官网、网络

编辑:陈俊

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